TEORIA DEL CONOCIMIENTO EN MATEMÁTICAS: "FIBONACCI"

TEORIA DEL CONOCIMIENTO EN MATEMÁTICAS: "FIBONACCI"

Dimensión internacional: la leyenda del ajedrez (Sissa ibn Dahir)

La leyenda cuenta que un Brahman indio, rodeado de infinitas riquezas y placeres, vivía amargado ya que no era capaz de disfrutar de ellas. Mandó llamar a uno de sus consejeros llamado Sisa para que inventara un juego que fuera capaz de entretenerle y distraerle. Sisa creó un juego que emulaba la guerra y la estrategia, un juego de reyes y príncipes, basado en un tablera de 64 casillas blancas y negras. Inventó el ajedrez. Como recompensa por su labor, el Brahmán le ofreció cualquier riqueza que el desease.

Sisa le planteó lo siguiente: ofrecerle un grano de arroz por la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, consecutivamente doblando la cantidad de arroz en la siguiente casilla. El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó

Pero Sisa le había pedido la siguiente cantidad de granos:

La sorpresa del brahmán fue enorme cuando le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a: 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

Dimensión internacional: Aryabhatta suele considerarse el “padre del álgebra”.  Comparar con al-Khawarizmi.

Aryabhatta trató numerosos temas matemáticos además de astronómicos y científicos. Las cuatro bases principales de su trabajo, que resumió en su libro llamado Aryabhatiya en forma de 33 versos, son la geometría, la trigonometría, la aritmética y especialmente el álgebra.

Respecto al álgebra, las aportaciones de Aryabhatta incluyen las fórmulas de sumatorios de series y progresiones:

Las reglas para hallar el número de términos en una progresión aritmética, inventándose la notación posicional de términos, mejoró la regla de tres del manuscrito de Bakshali, investigó soluciones matemáticas a problemas de intereses, llevado a progresos en el campo de las ecuaciones cuadráticas y un algoritmo que lleva su nombre para solucionar ecuaciones diofánticas.

Por otro lado Al-Khawarizmi, respecto a las matemáticas, le dio el nombre “álgebra” (al-jabr) al estudio de números desconocidos llamados por letras y puso los fundamentos de la álgebra. Además aportó dos métodos de resolución de ecuaciones, a través de reducción y balanceo, y llegó a resolver hasta ecuaciones de segundo grado, definiendo términos tales como “raíz” y “cuadrado”. En relación a Aryabhatta, tradujo sus matemáticas del hindú al árabe y acercó los términos al latín, tal y como los conocemos.

TdC: ¿cómo calculó Gauss la suma de enteros del 1 al 100? Discutir la idea de la intuición matemática como base para la demostración formal.

Principalmente Gauss creyó que la forma más rápida de sumar los 100 primeros números era sumando el número más grande con el más pequeño, de modo que 100+1=101, y sucesivamente comprobó que 99+2=101, 98+3=101, y así hasta que se dio cuenta que había 50 sumas. Llegó a la conclusión de que la multiplicación de las 50 sumas daría 5050. De modo que 50 x 101= 5050 =

Este hecho de Gauss es un gran ejemplo de cómo en muchas ocasiones la intuición de los matemáticos, trabajada tras muchos años involucrados en las matemáticas y una cierta capacidad natural, es muy importante a la hora de desarrolar nuevas teorías. Si los matemáticos sólo siguiesen el orden lógico de investigación, no serían capaces de salirse de los marcos ya creados y el progreso sería mucho más lento. En cambio como en el caso de Gauss, muchas veces sospechan que una fórmula o una ley debe existir, intuyen que hay una relación entre la suma del número más grande de un conjunto con el más pequeño y el sumatorio de toda la progresión, y a partir de ahi empiezan a teorizar e investigar.

TdC: debatir sobre la validez de la noción de “infinito”: los finitistas, como L. Kronecker,consideran que “un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de los números naturales en un número finito de pasos”

La noción de infinito es una noción complicada. Es comprensible que se diga que los números son infinitos, pues siempre puedes añadir un número más, pero ¿a dónde lo añades?  Si escribimos los números, en algún momento quizás se acabará el espacio para escribir, aunque sea en un punto donde el número sea enormemente imposible, se acabará ( a menos que el propio espacio sea infinito ), si lo imaginamos, nos planteamos otra pregunta, ¿es la imaginación infinita? Si no lo es, estás limitado al número que puedas imaginar. Claro que a pesar de que no puedas imaginar más, o no puedas escribir más, sabes que se podría añadir un número más, siempre se puede, y lo sabes. De esta manera, se puede decir que los números son infinitos, pero quizás no pueda haber una manifestación de la infinitud de los número, ¿o si? Los finitistas sostenían precisamente esto, diciendo que un objeto matemático no existe a menos que se construye a partir de números naturales en un número finito de pasos. Teóricamente el infinito existe, pero no puede haber una manifestación de él. Citando a Kronecker, el defensor del finitismo más famoso “Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre”. Parece lógico, pero sin embargo también sabemos que el número aureo, un número con infinitos decimales, hace acto de presencia en la naturaleza, y por lo tanto tiene una manifestación física en cierta manera, y el perímetro de un círculo (un objeto matemático) se puede construir a raíz de su radio y el número pi, otro número de infinitos decimales. ¿Existe, o no existe el infinito?

TdC: ¿qué es la paradoja de la dicotomía de Zenón? ¿Hasta qué punto los hechos matemáticos pueden estar alejados de la intuición?

Zenón fue un pensador Griego nacido aproximadamente el 495 a.C y vivió hasta el 435 a.C y que es conocido por sus más de 40 paradojas creadas, de las cuales conservamos aproximadamente una decena. La mayoría de estas están dedicadas a demostrar lo paradójico de considerar el tiempo y el espacio como una sucesión de puntos o de instantes consecutivos. Una de las más conocidas es la dicotomía, o la paradoja sobre la bipartición de distancias.

Los ejemplos son muchos, aunque el que utilizó Zenón para razonar su paradoja fue el siguiente:

“Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. !Nunca podré alcanzar la meta!”

Es decir, imaginemos que un corredor de maratones sale del punto A en dirección al punto B para recorrer la distancia AB. Intuitivamente pensamos que lo recorrerá en un tiempo finito, como es habitual en una maratón. Pero sin embargo, Zenón plantea que ese espacio finito AB puede subdividirse infinitamente partiendo la distancia entre dos. Es decir, el corredor deberá primero recorrer la mitad de AB; cuando esto ocurra se enfrentará al reto de alcanzar la mitad de la mitad restante de AB. Cuando alcance esta meta, deberá alcanzar la mitad de la mitad de medio AB. Esto nos mete de lleno en una paradoja, ya que si se puede dividir infinitamente la distancia AB entre dos, ¡el corredor jamás llegará a la meta, aunque le quede la mitad de un nanómetro por recorrer!

La expresión matemática de esa paradoja sería en forma de una serie de una progresión geométrica de razón

Según este argumento, el tiempo empleado en recorrer las infinitas subdivisiones es infinito, es decir que nunca llegará al árbol. Pero la suma de los puntos, entendida la progresión como una geométrica de razón y expresada como siendo “a” también , dará 1. Por lo tanto, si la suma de todas estas “mitades” infinitas da 1, significa que la suma de infinitas mitades dará siempre el completo. Aplicado a la paradoja, significa que recorriendo infinitas mitades el corredor acabará, dentro de un infinito tiempo, recorriendo la totalidad. Muchos pensadores han llegado a argumentar que si el corredor llegará a la meta recorriendo infinitos puntos sumados, se podría razonar que el corredor nunca saldrá realmente de la meta.

El ejemplo de la dicotomía de Zenón es muy claro para entender como a veces la intuición, que es un razonamiento inconsciente de nuestra mente basado en nuestra experiencia y el resto de nuestro conocimiento, nos aleja del conocimiento. Son hechos contraintuitivos, es decir que la intuición va en dirección contraria a la Verdad. Nuestra intuición nos dice que en la paradoja planteada por Zenón, el corredor lógicamente llegará a la meta. Esto lo sentimos, lo vemos muy claro. Pero sin embargo, cuando se demuestra matemáticamente, nos damos cuenta que nuestra intuición se equivocaba. Una herramienta normalmente muy útil en la investigación de nuevo conocimiento puede convertirse en nuestro peor enemigo.

Esto me lleva a considerar otro razonamiento, y es la relación entre las matemáticas y los hechos contraintuitivos. En mi opinión, las matemáticas nos permiten avanzar en nuestro conocimiento alejando la adquisición de nuevo conocimiento de la intuición. Es decir, intenta demostrar aquello que intuitivamente creemos que es cierto, haciendo avanzar nuestro conocimiento. Sabemos que normalmente para asimilar un conocimiento nuevo, para creerlo, este debe ser coherente con el conocimiento que ya tenemos, es decir que no suene muy raro, y que tenga pruebas. Las matemáticas son la prueba más poderosa para justificar un conocimiento tan incoherente como es un hecho contraintuitivo, que van en contra de todo lo que ya creemos saber.

 Nacho Arroniz, Oriol Celda, Daniil Morzhakov