GRAPHER

Recordáis aquella herramienta con la que estuvimos trabajando en matemáticas? Pues ahora, existe un representador de funciones mucho mejor, es la última versión de GRAPHER. Y ahora con todo el tema de las derivadas, creo que nos va a hacer mucha falta... Os aconsejo a todos que os lo descarguéis ya que es una auténtica maravilla! Con esto las derivadas son mucho más sencillas :)

problemas mecánica

Hola a todos!!

Ahora que ya estamos metidos de pleno en el tema de mecánica os dejo con una página web muy útil que he encontrado. Tiene muchos tipos de problemas sobre cinemática, dinámica, etc... Y además están solucionados!!!! Creo que están muy bien y espero que os ayuden mucho para el examen de la próxima semana.

Saludos!

http://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/No_me_salen/CINEMATICA/index_cinem.html

Imagenes de Lentes

Aqui os adjunto un par de imágenes que muestran un poco mejor cómo funcionan las lentes.

Reflexión en un espejo plano y cóncavo

Lente cóncava

Diagrama de rayos en un espejo y imagen virtual en un espejo cóncavo y convexo respectivamente

¡Espero que os sea medianamente útil!

http://www.ematematicas.net/logaritmo.php

TEORIA DEL CONOCIMIENTO EN MATEMÁTICAS: "FIBONACCI"

TEORIA DEL CONOCIMIENTO EN MATEMÁTICAS: "FIBONACCI"

Dimensión internacional: la leyenda del ajedrez (Sissa ibn Dahir)

La leyenda cuenta que un Brahman indio, rodeado de infinitas riquezas y placeres, vivía amargado ya que no era capaz de disfrutar de ellas. Mandó llamar a uno de sus consejeros llamado Sisa para que inventara un juego que fuera capaz de entretenerle y distraerle. Sisa creó un juego que emulaba la guerra y la estrategia, un juego de reyes y príncipes, basado en un tablera de 64 casillas blancas y negras. Inventó el ajedrez. Como recompensa por su labor, el Brahmán le ofreció cualquier riqueza que el desease.

Sisa le planteó lo siguiente: ofrecerle un grano de arroz por la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, consecutivamente doblando la cantidad de arroz en la siguiente casilla. El rey se sorprendió bastante con la petición creyendo que era una recompensa demasiado pequeña para tan importante regalo y aceptó

Pero Sisa le había pedido la siguiente cantidad de granos:

La sorpresa del brahmán fue enorme cuando le comunicaron que no podía entregar esa cantidad de trigo ya que ascendía a: 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo

Dimensión internacional: Aryabhatta suele considerarse el “padre del álgebra”.  Comparar con al-Khawarizmi.

Aryabhatta trató numerosos temas matemáticos además de astronómicos y científicos. Las cuatro bases principales de su trabajo, que resumió en su libro llamado Aryabhatiya en forma de 33 versos, son la geometría, la trigonometría, la aritmética y especialmente el álgebra.

Respecto al álgebra, las aportaciones de Aryabhatta incluyen las fórmulas de sumatorios de series y progresiones:

Las reglas para hallar el número de términos en una progresión aritmética, inventándose la notación posicional de términos, mejoró la regla de tres del manuscrito de Bakshali, investigó soluciones matemáticas a problemas de intereses, llevado a progresos en el campo de las ecuaciones cuadráticas y un algoritmo que lleva su nombre para solucionar ecuaciones diofánticas.

Por otro lado Al-Khawarizmi, respecto a las matemáticas, le dio el nombre “álgebra” (al-jabr) al estudio de números desconocidos llamados por letras y puso los fundamentos de la álgebra. Además aportó dos métodos de resolución de ecuaciones, a través de reducción y balanceo, y llegó a resolver hasta ecuaciones de segundo grado, definiendo términos tales como “raíz” y “cuadrado”. En relación a Aryabhatta, tradujo sus matemáticas del hindú al árabe y acercó los términos al latín, tal y como los conocemos.

TdC: ¿cómo calculó Gauss la suma de enteros del 1 al 100? Discutir la idea de la intuición matemática como base para la demostración formal.

Principalmente Gauss creyó que la forma más rápida de sumar los 100 primeros números era sumando el número más grande con el más pequeño, de modo que 100+1=101, y sucesivamente comprobó que 99+2=101, 98+3=101, y así hasta que se dio cuenta que había 50 sumas. Llegó a la conclusión de que la multiplicación de las 50 sumas daría 5050. De modo que 50 x 101= 5050 =

Este hecho de Gauss es un gran ejemplo de cómo en muchas ocasiones la intuición de los matemáticos, trabajada tras muchos años involucrados en las matemáticas y una cierta capacidad natural, es muy importante a la hora de desarrolar nuevas teorías. Si los matemáticos sólo siguiesen el orden lógico de investigación, no serían capaces de salirse de los marcos ya creados y el progreso sería mucho más lento. En cambio como en el caso de Gauss, muchas veces sospechan que una fórmula o una ley debe existir, intuyen que hay una relación entre la suma del número más grande de un conjunto con el más pequeño y el sumatorio de toda la progresión, y a partir de ahi empiezan a teorizar e investigar.

TdC: debatir sobre la validez de la noción de “infinito”: los finitistas, como L. Kronecker,consideran que “un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de los números naturales en un número finito de pasos”

La noción de infinito es una noción complicada. Es comprensible que se diga que los números son infinitos, pues siempre puedes añadir un número más, pero ¿a dónde lo añades?  Si escribimos los números, en algún momento quizás se acabará el espacio para escribir, aunque sea en un punto donde el número sea enormemente imposible, se acabará ( a menos que el propio espacio sea infinito ), si lo imaginamos, nos planteamos otra pregunta, ¿es la imaginación infinita? Si no lo es, estás limitado al número que puedas imaginar. Claro que a pesar de que no puedas imaginar más, o no puedas escribir más, sabes que se podría añadir un número más, siempre se puede, y lo sabes. De esta manera, se puede decir que los números son infinitos, pero quizás no pueda haber una manifestación de la infinitud de los número, ¿o si? Los finitistas sostenían precisamente esto, diciendo que un objeto matemático no existe a menos que se construye a partir de números naturales en un número finito de pasos. Teóricamente el infinito existe, pero no puede haber una manifestación de él. Citando a Kronecker, el defensor del finitismo más famoso “Dios creó los números naturales; el resto es obra del hombre”. Parece lógico, pero sin embargo también sabemos que el número aureo, un número con infinitos decimales, hace acto de presencia en la naturaleza, y por lo tanto tiene una manifestación física en cierta manera, y el perímetro de un círculo (un objeto matemático) se puede construir a raíz de su radio y el número pi, otro número de infinitos decimales. ¿Existe, o no existe el infinito?

TdC: ¿qué es la paradoja de la dicotomía de Zenón? ¿Hasta qué punto los hechos matemáticos pueden estar alejados de la intuición?

Zenón fue un pensador Griego nacido aproximadamente el 495 a.C y vivió hasta el 435 a.C y que es conocido por sus más de 40 paradojas creadas, de las cuales conservamos aproximadamente una decena. La mayoría de estas están dedicadas a demostrar lo paradójico de considerar el tiempo y el espacio como una sucesión de puntos o de instantes consecutivos. Una de las más conocidas es la dicotomía, o la paradoja sobre la bipartición de distancias.

Los ejemplos son muchos, aunque el que utilizó Zenón para razonar su paradoja fue el siguiente:

“Antes de alcanzar la meta habré de pasar por el punto medio. Y después habré de alcanzar la marca de 3/4, que está a la mitad de la distancia restante. Y antes de recorrer la cuarta parte final tendré que pasar por otra marca de mitad del trayecto. Estas marcas intermedias no acaban jamás. !Nunca podré alcanzar la meta!”

Es decir, imaginemos que un corredor de maratones sale del punto A en dirección al punto B para recorrer la distancia AB. Intuitivamente pensamos que lo recorrerá en un tiempo finito, como es habitual en una maratón. Pero sin embargo, Zenón plantea que ese espacio finito AB puede subdividirse infinitamente partiendo la distancia entre dos. Es decir, el corredor deberá primero recorrer la mitad de AB; cuando esto ocurra se enfrentará al reto de alcanzar la mitad de la mitad restante de AB. Cuando alcance esta meta, deberá alcanzar la mitad de la mitad de medio AB. Esto nos mete de lleno en una paradoja, ya que si se puede dividir infinitamente la distancia AB entre dos, ¡el corredor jamás llegará a la meta, aunque le quede la mitad de un nanómetro por recorrer!

La expresión matemática de esa paradoja sería en forma de una serie de una progresión geométrica de razón

Según este argumento, el tiempo empleado en recorrer las infinitas subdivisiones es infinito, es decir que nunca llegará al árbol. Pero la suma de los puntos, entendida la progresión como una geométrica de razón y expresada como siendo “a” también , dará 1. Por lo tanto, si la suma de todas estas “mitades” infinitas da 1, significa que la suma de infinitas mitades dará siempre el completo. Aplicado a la paradoja, significa que recorriendo infinitas mitades el corredor acabará, dentro de un infinito tiempo, recorriendo la totalidad. Muchos pensadores han llegado a argumentar que si el corredor llegará a la meta recorriendo infinitos puntos sumados, se podría razonar que el corredor nunca saldrá realmente de la meta.

El ejemplo de la dicotomía de Zenón es muy claro para entender como a veces la intuición, que es un razonamiento inconsciente de nuestra mente basado en nuestra experiencia y el resto de nuestro conocimiento, nos aleja del conocimiento. Son hechos contraintuitivos, es decir que la intuición va en dirección contraria a la Verdad. Nuestra intuición nos dice que en la paradoja planteada por Zenón, el corredor lógicamente llegará a la meta. Esto lo sentimos, lo vemos muy claro. Pero sin embargo, cuando se demuestra matemáticamente, nos damos cuenta que nuestra intuición se equivocaba. Una herramienta normalmente muy útil en la investigación de nuevo conocimiento puede convertirse en nuestro peor enemigo.

Esto me lleva a considerar otro razonamiento, y es la relación entre las matemáticas y los hechos contraintuitivos. En mi opinión, las matemáticas nos permiten avanzar en nuestro conocimiento alejando la adquisición de nuevo conocimiento de la intuición. Es decir, intenta demostrar aquello que intuitivamente creemos que es cierto, haciendo avanzar nuestro conocimiento. Sabemos que normalmente para asimilar un conocimiento nuevo, para creerlo, este debe ser coherente con el conocimiento que ya tenemos, es decir que no suene muy raro, y que tenga pruebas. Las matemáticas son la prueba más poderosa para justificar un conocimiento tan incoherente como es un hecho contraintuitivo, que van en contra de todo lo que ya creemos saber.

 Nacho Arroniz, Oriol Celda, Daniil Morzhakov

resumen imágenes

IMATGES

Moviment ondulatori

Les ones

Moviment ondulatori = moviment en el qual no hi ha un transport net de matèria, sinó només de quantitat de moviment i d’energia.

Ones de propagació = per on es transmet la quantitat de moviment i l’energia d’un moviment ondulatori.  

Focus emissors d’ones = conjunt de partícules del medi material on s’origina la pertorbació. 

Tipus d’ones segons la direcció de propagació de l’ona

Ona transversal

Quan les direccions de propagació de l’ona són sempre horitzontals , perpendiculars en tot moment a la direcció d’oscil·lació de les partícules.

Exemple: Ones electromagnètiques, ones produïdes en una corda, ones a la superfície d’un líquid...

Ona longitudinal

Quan la direcció de propagació de l’ona i la direcció d’oscil·lació de les partícules del medi coincideixen.

Exemple: el so, les ones sísmiques.

Característiques generals de les ones

Velocitat de fase

És la velocitat amb què es transmet la pertorbació des del focus fins a un punt determinat del medi.

v= λ/T     v= λ·f

Front d’ona

És el conjunt de punts del medi als quals arriba la pertorbació en un instant de temps determinat.

Raig

Qualsevol línia recta que sigui perpendicular a un front d’ona determinat. Els diferents raigs corresponen a diferents direccions de propagació de l’ona.  

Amplitud

És la distància que hi ha entre la posició màxima d’una partícula del medi i la seva posició d’equilibri (en metres).

Longitud d’ona

És la distància que hi ha entre dos punts consecutius que es troben en el mateix estat d’oscil·lació en un instant de temps determinat (en metres)

Període

És el temps que tarda una partícula del medi, en el cas de les ones mecàniques, o el camps electromagnètic, en el cas de les ones electromagnètiques, en completar una oscil·lació completa (en segons).

Freqüència

És el nombre d’oscil·lacions que es verifiquen en un segon. D’acord amb aquesta expressió, es comprova que la freqüència és la magnitud inversa del període, f=1/T, i, així, la seva unitat en el SI és el s^-1, unitat que rep el nom de Hertz (Hz).

Principi de Huygens. Fenòmens ondulatoris

Els punts que formen un front d’ona es comporten com a nous focus emissors d’ones, les quals es propaguen en totes direccions amb la mateixa velocitat de fase, i originen el següent front d’ona.

Difracció:

Consisteix en la distorsió que pateix una ona quan arriba a un obstacle que n’impedeix la transmissió i que té unes dimensions comparables a la longitud d’ona.

Interferències:

D’acord amb el principi de superposició, la funció d’ona resultant y és la suma algebraica de les dues funcions d’ona que interfereixen:

y= y₁ + y₂

Tipus d’interferències:

·         Constructiva

·         Destructiva

·         Parcialment constructiva

Caràcter Ondulatori de la llum

La llum es propaga per el moviment ondulatori, es a dir, per ones.

Ones de radiofreqüència

Microones

Radiació infraroja

Llum visible

Radiació ultraviolada

Raigs X

Raigs gamma

Propietats ondulatòries de la llum

Reflexió i refracció:

En la reflexió, l’ona incident canvia la seva direcció de propagació quan arriba a la superfície de separació dels dos medis, però continua movent-se en el mateix medi, i dóna lloc a l’ona reflectida. Així doncs, si anomenem v₁  la velocitat de fase en el primer medi, tant l’ona incident com l’on reflectida es propaguen amb al mateixa velocitat v_1.

La refracció, en canvi, consisteix en una variació tant de la direcció de propagació de l’ona com del seu medi de transmissió. Per tant, si anomenem v₂ la velocitat de fase en el segon medi, l’ona refractada es mou a aquesta velocitat v_2.

Lleis:

Llei de la reflexió: Els angle d’incidència son iguals. Per tant:

α_i= α_r

Llei de la refracció o de Snell: La relació entre els sinus de l’angle d’incidència i els sinus de l’angle de refracció coincideix amb al relació entre les velocitats de l’ona en els dos medis.

Aquesta relació és una constant que es coneix amb el nom d’index de refracció, i que se simbolitza mitjançant n:

Difusió:

Quan la llum i, en general, qualsevol ona electromagnètica es propaguen a través d’un medi, interaccionen amb els seus àtoms; d’acord amb les lleis de Maxwell del camp electromagnètic, la radiació es parcialment absorbida pels àtoms del medi i posteriorment és reemesa en totes direccions; aquest fenomen s’anomena difusió, i és més apreciable com més gran es la freqüència de la radiació.

Òptica geomètrica. Miralls

Un mirall és un sistema òptic constituït per una superfície polida i llisa que és molt reflectora, és a dir, que reflecteix pràcticament tots els raigs de llum que hi incideixen i dóna imatges clares dels objectes. Hi ha diferents tipus de miralls:

·         Mirall pla

·         Mirall esfèric

·         Mirall esfèric còncau

·         Mirall esfèric convex

Òptica geomètrica. Lents

Una lent és un sistema òptic format per dues superfícies refringents, és a dir, que refracten els raigs de llum que incideixen, amb un eix comú, una de les quals, almenys, és corba.

Lent biconvexa:

Aquest tipus de lents tenen dos punts focals, un a cada costat, que son els punt a on intersecten els raigs refractats corresponents als raigs que incideixen paral·lels al seu eix.

Una magnitud relacionada amb la distància focal es la potència de la lent, que és el valor invers de la distància focal.

P

Lent bicòncava:

Lent amb dos superfícies esfèriques i còncaves iguals. Es crea amb la seva primera superfície centrada sobre l’origen i la segon superfície posicionada sota del eix x.

L’ull com a sistema òptic

L’ull humà i les seves parts:

Ondas

Buscando por la definición en Internet de ondas mecánicas y ondas electromagnéticas, he encontrado una página que os puede servir, en esta página web también encontrareis un vídeo sobre este tema, que me ha parecido bastante interesante ya que te expone diferentes ejemplos de de estas ondas.
Espero que os sirva.    
https://sites.google.com/site/260ondassonidoyluz/clases-de-ondas